D'autres angles associés - Corrigé

Énoncé

Résoudre les équations suivantes dans \(\mathbb{R}\) , puis dans l'intervalle \([0 \ ; 2\pi]\) .

1. \(\cos(x)=\sin(x)\)

2. \(\sin(x)=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)

3. \(\cos\left(x-\dfrac{\pi}{5}\right)=\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)

Solution

1. Pour tout `x \in \mathbb{R}` , \(\begin{align*}\cos(x)=\sin(x)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ \cos(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{\pi}{2}-x+2k\pi \text{ ou } x=-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+2k\pi\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } 2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \text{ ou } \underbrace{0=-\frac{\pi}{2}+2k\pi}_{\text{impossible}}\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{\pi}{4}+k\pi\end{align*}\)
donc \(S= \left\lbrace \dfrac{\pi}{4}+k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace .\)
De plus, \(S_{[0 ; 2\pi]}= \left\lbrace \dfrac{\pi}{4} \ ; \dfrac{5\pi}{4} \right\rbrace\) .

2. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) , \(\begin{align*}\sin(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } \frac{\pi}{2}-x=x+\frac{\pi}{3}+2k\pi\\ & \qquad\qquad \text{ ou } \frac{\pi}{2}-x=-\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } -2x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}+2k\pi=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\\ & \qquad\qquad \text{ ou } \underbrace{\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi}_{\text{impossible}}\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{\pi}{12}-k\pi\end{align*}\)
donc \(S= \left\lbrace \dfrac{\pi}{12}+k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
De plus, \(S_{[0 ; 2\pi]}= \left\lbrace \dfrac{\pi}{12} \ ; \dfrac{13\pi}{12} \right\rbrace\) .

3. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) ,
\(\begin{align*}\cos\left(x-\frac{\pi}{5}\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ \cos\left(x-\frac{\pi}{5}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \cos\left(x-\frac{\pi}{5}\right)=\cos\left(\frac{3\pi}{4}-x\right)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x-\frac{\pi}{5}=\frac{3\pi}{4}-x+2k\pi\\ & \qquad\qquad \text{ ou } x-\frac{\pi}{5}=-\left(\frac{3\pi}{4}-x\right)+2k\pi\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \ \mathbb{Z} \text{ tel que } 2x=\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{5}+2k\pi=\frac{19\pi}{20}+2k\pi\\ & \qquad\qquad \text{ ou } \underbrace{-\frac{\pi}{5}=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi}_{\text{impossible}}\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \ \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{19\pi}{40}+k\pi\end{align*}\) donc \(S= \left\lbrace \dfrac{19\pi}{40}+k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
De plus,   \(S_{[0 ; 2\pi]}= \left\lbrace \dfrac{19\pi}{40} \ ; \dfrac{59\pi}{40} \right\rbrace\) .